บทที่ 5

บทที่ 5

ตัวคูณร่วมน้อย หรือ ค.ร.น

นักวิชาเลขคณิต และทฤษฎีจำนวน ตัวคูณร่วมน้อย หรือ ค.ร.น. ของจำนวนเต็มสองจำนวน a และ b มักเขียนด้วยสัญลักษณ์ LCM(a, b) เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารทั้ง a และ bลงตัว^[1] เนื่องจากไม่นิยามการหารด้วยศูนย์ นิยามนี้จึงหมายถึงกรณีที่ a และ b ไม่ใช่ 0 เท่านั้น.^[2] อย่างไรก็ตาม นักเขียนบางคนนิยาม lcm(a,0) เป็น 0 สำหรับ a ใด ๆ ซึ่งเป็นผลลัพธ์ของการคูณร่วมน้อยเป็นซูพรีมัมหรือขอบบนน้อยสุดในแลตทิซของการหาร

ค.ร.น. เป็นที่คุ้นเคยในวิชาเลขคณิตชั้นประถมศึกษาในชื่อ "ตัวส่วนร่วมน้อย" ที่ต้องกำหนดก่อนบวก ลบ หรือเปรียบเทียบเศษส่วน ค.ร.น. ของจำนวนเต็มมากกว่าสองจำนวนก็มีนิยามว่า คือจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารแต่ละจำนวนลงตัว

ตัวคูณร่วมน้อยที่สุด (ค.ร.น.)[แก้]

         ตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของจำนวนใดๆ  ตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป  หมายถึง  จำนวนที่น้อยที่สุดที่จำนวนเหล่านั้นมาหารได้ลงตัว  หรือจำนวนที่น้อยที่สุดที่มีจำนวนเหล่านั้นเป็นตัวประกอบ

    วิธีการหา  ค.ร.น.
         1.  โดยการแยกตัวประกอบ  มีวิธีการดังนี้
              1)  แยกตัวประกอบของจำนวนทุกจำนวนที่ต้องการหา  ค.ร.น.
              2)  เลือกตัวประกอบตัวที่ซ้ำกันมาเพียงตัวเดียว
              3)  เลือกตัวประกอบตัวที่ไม่ซ้ำกันมาทุกตัว
              4)  นำจำนวนที่เลือกมาจากข้อ 2และ 3มาคูณกันทั้งหมด  เป็นค่าของ  ค.ร.น.

                  ตัวอย่าง      จงหา   ค.ร.น.  ของ  10,   24 และ  30
                       วิธีทำ       10 =  
                                     24 =         
                                     30 =  

                        ค.ร.น.  =  5 x 2 x 3 x 2 x 2  = 120

         2. โดยการหารสั้น  มีวิธีการดังนี้
               1) นำจำนวนทั้งหมดที่ต้องการหา  ค.ร.น.  มาตั้งเรียงกัน
               2) หาจำนวนเฉพาะที่สามารถหารจำนวนทั้งหมดได้ลงตัว  หรือหารลงตัวอย่างน้อย 2 จำนวน  จำนวนใดหารไม่ได้ให้ดึงลงมา
               3) ให้ทำซ้ำข้อ 2 จนกว่าจะหารอีกไม่ได้
               4) นำตัวหารทั้งหมดและผลลัพธ์สุดท้ายมาคูณกัน  ผลคูณคือค่าของ  ค.ร.น.

                    ตัวอย่าง    จงหา   ค.ร.น.  ของ  10,   24 และ  30

                        วิธีทำ    2)  10     24     30
                                   5)  5      12      15
                                   3)  1      12       3
                                        1       4        1

                        ค.ร.น.   =  2 x 5 x 3 x 4 = 120

ประโยชน์ของ ค.ร.น.[แก้]

         1. ใช้ในการหาผลบวกและผลลบของเศษส่วน  โดยทำส่วนให้เท่ากัน
         2. ใช้ในการคำนวณงานบางอย่างที่ใช้เวลาต่างกัน  และหาเวลาที่จะทำพร้อมกันในครั้งต่อไป

ตัวหารร่วมมาก หรือ ห.ร.ม ในคณิตศาสตร์ ตัวหารร่วมมาก หรือ ห.ร.ม. (อังกฤษ: greatest common divisor: gcd) ของจำนวนเต็มสองจำนวนซึ่งไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่หารทั้งสองจำนวนลงตัว ตัวหารร่วมมากของ a และ b เขียนแทนด้วย gcd (a, b) หรือบางครั้งเขียนว่า (a, b) เช่น gcd (12, 18) = 6, gcd (−4, 14) = 2 และ gcd (5, 0) = 5 จำนวนสองจำนวนจะถูกเรียกว่า จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ถ้าตัวหารร่วมมากเท่ากับ 1 เช่น 9 และ 28 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ตัวหารร่วมมากมีประโยชน์ในการทำเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ดังตัวอย่างนี้ ${\displaystyle {42 \over 56}={3\cdot 14 \over 4\cdot 14}={3 \over 4}}$ ซึ่งเราตัดตัวหารร่วมมากของ 42 และ 56 คือ 14 ออก การหา ห.ร.ม. การหาตัวหารร่วมมาก ทำได้ด้วยการแยกตัวประกอบของจำนวนสองจำนวน และเปรียบเทียบตัวประกอบ ตัวอย่างเช่น gcd (18,84) เราจะแยกตัวประกอบ 18 = 2·32 และ 84 = 22·3·7 สังเกตว่านิพจน์ที่"ซ้อน"กันคือ 2·3 ดังนั้น gcd (18,84) = 6 ในทางปฏิบัติ วิธีนี้จะทำได้สำหรับจำนวนที่น้อยๆเท่านั้น เพราะการแยกตัวประกอบโดยทั่วไปนั้นจะยาวเกินไป วิธีที่มีประสิทธิภาพกว่าคือ ขั้นตอนวิธีของยุคลิด: หาร 84 ด้วย 18 จะได้ผลหารเท่ากับ 4 และเศษเหลือเท่ากับ 12 จากนั้นหาร 18 ด้วย 12 จะได้ผลหารเท่ากับ 1 และเศษเหลือเท่ากับ 6 จากนั้นหาร 12 ด้วย 6 จะได้เศษเหลือเท่ากับ 0 ซึ่งหมายความว่า 6 เป็น ห.ร.ม. คุณสมบัติ ตัวหารร่วมของ a และ b จะเป็นตัวหารของ gcd (a, b) gcd (a, b) เมื่อ a และ b ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน จะเป็นจำนวนเต็มบวก d ที่น้อยที่สุดที่สามารถเขียนในรูป d = a·p + b·q เมื่อ p และ q เป็นจำนวนเต็ม จำนวน p และ q สามารถคำนวณได้จากขั้นตอนวิธีของยุคลิดเพิ่มเติม ถ้า a หาร b·c ลงตัว และ gcd (a, b) = d แล้ว a/d หาร c ลงตัว ถ้า m เป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว gcd (m·a, m·b) = m·gcd (a, b) และ gcd (a + m·b, b) = gcd (a, b) ถ้า m เป็นตัวหารร่วมของ a และ b แล้ว gcd (a/m, b/m) = gcd (a, b) /m ห.ร.ม.เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณ กล่าวคือ ถ้า a1 และ a2 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แล้ว gcd (a1·a2, b) = gcd (a1, b) ·gcd (a2, b) ห.ร.ม.ของจำนวนสามจำนวน หาได้จาก gcd (a, b, c) = gcd (gcd (a, b) , c) = gcd (a, gcd (b, c)) นั่นคือ ห.ร.ม.มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ gcd (a, b) นั้นมีความเกี่ยวข้องกับตัวคูณร่วมน้อย lcm (a, b) : จะได้ว่า gcd (a, b) ·lcm (a, b) = a·b. สูตรนี้มักถูกใช้เพื่อคำนวณค่าคูณร่วมน้อย โดยเริ่มด้วยการหา ห.ร.ม. โดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด จากนั้นหารผลคูณของตัวเลขทั้งสองด้วย ห.ร.ม. คุณสมบัติการกระจายด้านล่างนี้เป็นจริง: gcd (a, lcm (b, c)) = lcm (gcd (a, b) , gcd (a, c)) lcm (a, gcd (b, c)) = gcd (lcm (a, b) , lcm (a, c)). การนิยามให้ gcd (0, 0) = 0 และ lcm (0, 0) = 0 นั้นมีประโยชน์เนื่องจากจะทำให้เซตของจำนวนธรรมชาติเป็นแลตทิซแบบกระจายที่บริบูรณ์ โดยที่ ห.ร.ม. เป็นการดำเนินการ meet และ ค.ร.น. เป็นการดำเนินการ join การขยายนิยามนี้สอดคล้องกับนัยทั่วไปของนิยามสำหรับริงสลับที่ด้านล่าง ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน gcd (a, b) สามารถตีความว่าเป็นจำนวนของจุดที่มีพิกัดเป็นจำนวนเต็มบนเส้นตรงที่เชื่อมจุด (0, 0) และจุด (a, b) โดยที่ไม่นับจุด (0, 0) ห.ร.ม. ในริงสลับที่ ห.ร.ม. สามารถนิยามให้กว้างขึ้นสำหรับสมาชิกของริงสลับที่ ถ้า R เป็นริงสลับที่ และให้ a และ b อยู่ใน R จะเรียกสมาชิก d ที่อยู่ใน R ว่า ตัวหารร่วมของ a และ b ถ้ามันหาร a และ b ลงตัว (กล่าวคือ ถ้ามีสมาชิก x และ y ใน R ที่ทำให้ d·x = a และ d·y = b) ถ้า d เป็นตัวหารร่วมของ a และ b และตัวหารร่วมทุกตัวของ a และ b หาร d ลงตัว จะเรียก d ว่าเป็น ตัวหารร่วมมากของ a และ b สังเกตว่าจากนิยามนี้ สมาชิก a และ b อาจมี ห.ร.ม. หลายค่า หรือไม่มี ห.ร.ม. เลย แต่ถ้า R เป็นโดเมนจำนวนเต็ม (integral domain) แล้ว ห.ร.ม. สองตัวใด ๆ ของ a และ b ต้องเป็นสมาชิก associate ถ้า R เป็นโดเมน unique factorization แล้ว สมาชิกใด ๆ สองสมาชิกจะมี ห.ร.ม. เสมอ และถ้า R เป็นโดเมนยุคลิเดียน (Euclidean domain) แล้ว ขั้นตอนวิธีของยุคลิดสามารถปรับใช้หา ห.ร.ม. ได้ ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของโดเมนจำนวนเต็มซึ่งสองสมาชิกไม่มี ห.ร.ม. ${\displaystyle R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}],\quad a=4=2\cdot 2=(1+{\sqrt {-3}})(1-{\sqrt {-3}}),\quad b=(1+{\sqrt {-3}})\cdot 2}$ สมาชิก ${\displaystyle 1+{\sqrt {-3}}}$ และ ${\displaystyle 2}$ คือ "ตัวหารร่วม maximal" (กล่าวคือ ตัวหารร่วมใด ๆ ที่เป็นจำนวนเท่าของ 2 จะ associate กับ 2 สำหรับ ${\displaystyle 1+{\sqrt {-3}}}$ ก็มีคุณสมบัติเช่นเดียวกัน) แต่ค่าทั้งสองนี้ไม่ associate กัน ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าไม่มี ห.ร.ม. ของ a และ b                                                     เเบบทดสอบเรื่อง ค.ร.น พฤติกรรมที่ต้องการวัด    ความรู้  ความเข้าใจ  1)  55  มีตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดกี่ตัว ตัวเลือก ก.     1 ข.     2 ค.     3 ง.      4 ………………………………………………………………………………………….. พฤติกรรมที่ต้องการวัด   ความรู้  ความเข้าใจ  2)  ห.ร.ม. ของ 16 และ 24 คือข้อใด ตัวเลือก ก.  2 ´ 2 ´ 2 ข.      2 ´ 2 ´ 2 ´ 2 ค.      2 ´ 2 ´ 2 ´ 3 ง.       2 ´ 2 ´ 2 ´ 2 ´ 3 ………………………………………………………………………………………….. พฤติกรรมที่ต้องการวัด  ความรู้  ความเข้าใจ  3)     ค.ร.น.  ของ  12, 18  และ   24  คือข้อใด ตัวเลือก ก.         6             ข.         12             ค.         72             ง.          144 ………………………………………………………………………………………….. พฤติกรรมที่ต้องการวัด ความเข้าใจ 4)   3 x  3 x 7 x 2 เป็นการแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนใด ตัวเลือก              ก.  27 ข.  42 ค.  108 ง.  126 ………………………………………………………………………………………… พฤติกรรมที่ต้องการวัด การนำไปใช้ 5)  จงหา ห.ร.ม.ของ 78  130  195 และ 260            ตัวเลือก               ก.  6 ข.  13 ค.  15 ง.   17 ………………………………………………………………………………………… พฤติกรรมที่ต้องการวัด การประเมินค่า 6)  ค.ร.น. ของ 8, 10 และ 24, 42 มีค่าต่างเท่ากับเท่าไร ตัวเลือก              ก.  4 ข.  14 ค.  40 ง.   44 ………………………………………………………………………………………… พฤติกรรมที่ต้องการวัด          วิเคราะห์  ความเข้าใจ  7)    ข้อใดไม่ถูกต้อง ตัวเลือก                              ก.   2   มีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 2                                           ข.   5   มีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 5                                           ค.   7   มีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 7                                           ง.   14   มีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 14 ……………………………………………………………………………………….. พฤติกรรมที่ต้องการวัด          วิเคราะห์  ความเข้าใจ  8)   ข้อใดไม่มี ห.ร.ม. เท่ากับ 18 ตัวเลือก                              ก.   45   108                                              ข.   72   126                                           ค.   18   162                                            ง.   108   90 …………………………………………………………………………………………. พฤติกรรมที่ต้องการวัด          วิเคราะห์  ความเข้าใจ  9)    48, 72, 108  ค.ร.น. มีค่ามากกว่า ห.ร.ม. เท่าไหร่ ตัวเลือก                             ก.   420                                                    ข.   432                                           ค.   440                                                               ง.   442 …………………………………………………………………………………………. พฤติกรรมที่ต้องการวัด  ความรู้-ความเข้าใจ 10)  ผลบวกของจำนวนเฉพาะทุกจำนวนตั้งแต่  1 ถึง  25  มีผลลัพธ์เป็นเท่าไร ตัวเลือก               ก.  90                                                    ข.  100                                                                 ค.  101                                                  ง.  122 ………………………………………………………………………………………….. พฤติกรรมที่ต้องการวัด  ความรู้-ความเข้าใจ 11)  ห.ร.ม.   ของ 54, 126, 198  มีค่าเท่ากับ  ห.ร.ม.ในข้อใด ตัวเลือก               ก.  18, 54, 118                                        ข.  36, 63, 126                                                                   ค.  54, 72, 189                                        ง.  72, 108, 162 ………………………………………………………………………………………… พฤติกรรมที่ต้องการวัด  ความรู้-ความเข้าใจ  การนำไปใช้ 12)  ในการฉลองวันชาติของประเทศหนึ่ง มีการจุดพลุของ 3 เหล่าทัพดังนี้  กองทัพบกจุดพลุทุก 5 นาที  กองทัพเรือจุดพลุทุก  9 นาที่  กองทัพอากาศจุดพลุทุก  15  นาที  ถ้าการจุดพลุเริ่มต้นเวลา  18.00 น และ สิ้นสุดเวลา  21.00 น.  จะมีการจุดพลุพร้อมกันกี่ครั้ง ตัวเลือก               ก.  3  ครั้ง                                              ข.  4  ครั้ง                                                                         ค.  5  ครั้ง                                              ง.  6  ครั้ง ………………………………………………………………………………………….. พฤติกรรมที่ต้องการวัด ความเข้าใจ 13)  พิจารณาข้อความต่อไปนี้       1.   40     แยกตัวประกอบได้เป็น  23 x 5       2.   72     แยกตัวประกอบได้เป็น  23  x 32       3.   24     แยกตัวประกอบได้เป็น  32  x  22   ข้อใดถูกต้อง ตัวเลือก             ก.         ข้อ 1,  2                                                   ข.         ข้อ 1,  3                           ค.         ข้อ 2,  3                                                  ง.          ข้อ 1,  2,  3 ………………………………………………………………………………………….. พฤติกรรมที่ต้องการวัด ความเข้าใจ 14)  48, 72, 108  ค.ร.น. มีค่าต่างกันเท่าไร ตัวเลือก               ก.         444                               ข.          432                            ค.         420                               ง.           144 ……………………………………………………………………………………….. พฤติกรรมที่ต้องการวัด  วิเคราะห์  ความเข้าใจ 15)   จำนวนใดมีตัวประกอบเฉพาะที่ต่างกัน  4  ตัว ตัวเลือก ก.     360 ข.     300 ค.     240 ง.      210 …………………………………………………………………………………………………….. พฤติกรรมที่ต้องการวัด  วิเคราะห์  ความเข้าใจ 16)   จำนวนมากที่สุดที่หาร  121 ; 170  และ 210 แล้วเหลือเศษ  1 ; 2  และ 3  ตามลำดับ  คือจำนวนใด ตัวเลือก ก.     16 ข.     18 ค.     22 ง.      24 ……………………………………………………………………………………………………… พฤติกรรมที่ต้องการวัด  วิเคราะห์  ความเข้าใจ 17)  จำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วย  9 ; 15  และ 18  แล้วเหลือเศษ  3  เท่ากันคือจำนวนใด ตัวเลือก ก.     93 ข.     96 ค.     112 ง.      150 ………………………………………………………………………………………………………. พฤติกรรมที่ต้องการวัด    เข้าใจ วิเคราะห์ 18)  ข้อใดไม่ถูกต้อง ตัวเลือก           ก.         3   มีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 3                                    ข.         5   มีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 5                         ค.         7   มีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 7                         ง.          9   มีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 9 ………………………………………………………………………………………………………. พฤติกรรมที่ต้องการวัด    เข้าใจ วิเคราะห์ 19)  8, 20, 28   ค.ร.น. มีค่ามากกว่า ห.ร.ม. กี่เท่า ตัวเลือก                ก.         4  เท่า                                                                ข.         35  เท่า                            ค.         70  เท่า                                                              ง.          280  เท่า ……………………………………………………………………………………………………… พฤติกรรมที่ต้องการวัด    เข้าใจ วิเคราะห์ 20)    จำนวนเฉพาะที่อยู่ระหว่าง  40-50  คือ  จำนวนใด ตัวเลือก                          ก          41 , 43 , 45                          ข          41 , 43 , 47                           ค          43 , 45 , 47                          ง          43 , 47 , 49  ……………………………………………………………………………………………………….